🎯 Оптимизация вероятности успеха в стохастической системе: от теории к практике

Скажем вам по секрету: работа с вероятностями — это как игра в покер, где не всегда знаешь, какие карты у оппонента. У вас есть система, и вы пытаетесь понять, станет ли она успехом или провалом. Пора разбираться!

📜 Исходные данные

Представьте, что вы запустили несколько экспериментов. Каждый из них может выдать результат: успех (1) или провал (0). Известно, что у вас есть N исторических наблюдений (x1, x2, …, xN), и вероятность успеха p остается в тени неизвестности.

И не спешите расстраиваться, если ваши эксперименты не всегда успешны — мы соберем все знания в одну шкатулку и аккуратно распакуем их!

📊 Шаг 1: Оценка вероятности успеха

Итак, давайте вычислим, сколько успешных экспериментов у вас на самом деле. Применяем формулу:

p_hat = sum(xi_list) / N

Где xi_list — это наш список с результатами. Таким образом, p_hat — это ваша оценка вероятности успеха.

🔍 Шаг 2: Доверительный интервал

Теперь, когда мы знаем p_hat, пора задуматься о доверительном интервале. Тут у нас есть два маршрута: можно использовать нормальное приближение (если выборка большая), или, если хотите пощадить каждую деталь, применить Wilson-интервал.

Нормальное приближение:

import math z = 1.96 # для 95% доверия std_error = math.sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / N) lower_bound = p_hat - z * std_error upper_bound = p_hat + z * std_error

Wilson-интервал:

Сagом этого может показаться тинейджерского романтизма, но результат того стоит!

center = (p_hat + z**2 / (2 * N)) / (1 + z**2 / N) margin = (z * math.sqrt((p_hat * (1 - p_hat) / N) + (z**2 / (4 * N**2)))) / (1 + z**2 / N) lower_bound = center - margin upper_bound = center + margin

💰 Шаг 3: Оценка прибыльности

Теперь самое интересное: сколько экспериментов вам нужно провести, чтобы вышло в плюс? Делаем небольшую формулу:

profit = successes * R - n * C

Чтобы вероятность того, что прибыль будет положительной, была выше 95%, мы ищем:

P(profit > 0) >= 0.95

Это значит, что количество успехов должно превышать некую границу – и вот где начинается математика!

📈 Шаг 4: Нормальное распределение успехов

Предположим, что у вас много экспериментов (больше 30 — в мире статистики это считается большим). Тогда количество успехов подчиняется нормальному распределению:

mean_successes = n * p_hat std_successes = math.sqrt(n * p_hat * (1 - p_hat))

Теперь можно подсчитать вероятность количества успешных запусков через функцию:

from scipy.stats import norm prob = 1 - norm.cdf(min_successes, loc=mean_successes, scale=std_successes)

И вы в поисках минимального n, чтобы prob была выше 0.95! Хотя, нужно заметить, что важно не перепутать границы и тонкости, иначе вам придется делать обратные капли.

⚠️ Остерегайтесь подводных камней

Здесь нам не избежать парочки неприятных моментов. Помните, что если ваша выборка мала (менее 30), нормальное приближение может сломать вам все переживания. И если вы не правильно зададите границы доверительного интервала — скорее всего, стратегия провалилась.

А сопоставление стоимости (C) и прибыли (R) — это настоящий путь к пониманию, окупятся ли ваши усилия.

🧠 Углубление мысли

Вы можете задаться вопросом: как бы повлиял риск, если бы прибыль от успеха стала случайной величиной? Или каким образом учесть, что вероятность успеха — это неоконч